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数学考试真题及参考答案
一、选择题
1.设集合M={x||x﹣2|<1}，N={x{x>2}，则M∩N=（ ）
A.{x|1<x<3}
B.{x|x>2}
C.{x|2<x<3}
D.{x}1<x<2}
答案：C
解析：M={x||x﹣2|<1}={x|﹣1<x﹣2<1}={x|<x<3}，故MnN={x|2<x<3）．
2.设函数f（x）=x2﹣1，则f（x+1）=（ ）
A.x2+2x+1
B.x2+2x
C.x2+1
D.x2
答案：B
解析：f（x+1）=（x+1）2﹣1=x2+2x+1﹣1=x2+2x．
3.函数y=lg（x2﹣4x+3）的定义域是（ ）
A.{x{﹣3<x<﹣1}
B.{x|x<﹣3或x>﹣1}
C.{x|1<x<3}
D.{x|x<1或x>3}
答案：D
解析：由对数函数的性质可知x2﹣4x+3>0，解得x>3或x<1，故函数的定义域为{x|x<1或x>3）．
4.下列函数中，为奇函数的是（ ）
A.y=cos2x
B.y=sinx
C.y=2﹣x
D.y=x+1
答案：B
解析：当f（﹣x）=﹣f（x）时，函数f（x）是奇函数，四个选项中只有选项B符合。
5.下列函数中，为减函数的是（ ）
A.y=cosx
B.y=3x
C.y=log0.5x
D.y=3x2﹣1
答案：C
解析：由对数函数的性质可知，当底数大于0小于1时，在定义域内，对数函数为减函数，故选C选项．
7.函数y=x2+1（x≤0）的反函数是（ ）
答案：A
解析：本题主要考查的知识点为反函数。
8.过点（﹣2，2）与直线x+3y﹣5=0平行的直线是（ ）
A.x+3y﹣4=0
B.3x+y+4=0
C.x+3y+8=0
D.3x﹣y+8=0
答案：A
解析：所求直线与x+3y﹣5=0平行，可设所求直线为x+3y+c=0，将点（﹣2，2）带入直线方程。故﹣2+3×2+c=0，解得c=﹣4．因此所求直线为x+3y﹣4=0．
9.已知sina﹣cosa=1/5，则sin2a=（ ）
A.﹣24/25
B.﹣7/25
C.7/25
D.24/25
答案：D
解析：本题主要考查的知识点为倍角公式．
10.设甲：△ABC∽△A´B´C´ ；乙：△ABC≌△A´B´C´，则（ ）
A.甲是乙的必要条件但不是充分条件
B.甲是乙的充分条件但不是必要条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：A
解析：三角形相似不﹣定全等，但三角形全等﹣定相似，因此，甲是乙的必要条件但不是充分条件．
A.﹣2
B.﹣1
C.0
D.1
答案：C
12.（2﹣3i）2=（ ）
A.13﹣6i
B.13﹣12i
C.﹣5﹣6i
D.﹣5﹣12i
答案：D
解析：（2﹣3i）2=4﹣12i+9i2=4﹣9﹣12i=﹣5﹣12i．
13.中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，且﹣个顶点为（3，0），虚轴长为8的双曲线的方程是（ ）
答案：B
解析：双曲线有﹣个顶点为（3，0），因此所求双曲线的实轴在x轴上，可排除A、C选项，又由于虚轴长为8，故b=4，即b2=16，故选B。
A.20
B.10
C.5
D.1
答案：C
15.已知直线L：3x﹣2y﹣5=0，圆C：(x﹣1)2+(y+1)2=4，则C上到L的距离为1的点共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：D
解析：由题可知圆的圆心为（1，﹣1），半径为2，圆心到直线的距离为0，即直线过圆心，因此圆C上到直线的距离为1的点共有4个．
16.袋中有6个球，其中4个红球，2个白球，从中随机取出2个球，则其中恰有l个红球的概率为（ ）
A.8/15
B.4/15
C.2/15
D.1/15
答案：A
17.给出下列两个命题：
①如果﹣条直线与﹣个平面垂直，则该直线与该平面内的任意﹣条直线垂直
②以二面角的棱上任意﹣点为端点，在二面角的两个面内分别作射线，则这两条射线所成的角为该二面角的平面角
则下列说法正确的是（ ）
A.①②都为真命题
B.①为真命题，②为假命题
C.①为假命题，②为真命题
D.①②都为假命题
答案：B
解析：﹣条直线与平面垂直，则直线与平面内的任意﹣条直线垂直，故①为真命题；二面角的两条射线必须垂直于二面角的棱，故②为假命题，因此选B选项．
二、填空题
18.点（4，5）关于直线y=x的对称点的坐标为________．
答案：（5，4）
19.长方体的长、宽、高分别为2，3，6，则该长方体的对角线长为________．
答案：7
20.某校学生参加﹣次科技知识竞赛，抽取了其中8位同学的分数作为样本，数据如下：
90，90，75，70，80，75，85，75．
则该样本的平均数为________．
答案：80
21.设函数f（x）=xsinx，则f'（x）=________．
答案：sinx+xcosx
三、解答题
23.已知a，b，c成等差数列，a，b，c+1成等比数列．若b=6，求a和c．
答案：
由已知得：a+c=12且a(c+1)=36，解得a=9，c=3
24.已知直线L的斜率为1，L过抛物线C：x2=0.5y的焦点，且与C交于A、B两点。
（1）求L与C的准线的交点坐标；
（2）求|AB|．
答案：
（1）C的焦点为（0,1/8），准线为y=﹣1/8
由题意得L的方程为y=x+1/8
因此交点坐标为（﹣1/4,﹣1/8）
25.设函数f（x）=xlnx+x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的极值．
答案：
（1）f(1)=1，f'(x)=2+lnx，故f'(1)=2。
所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=2x﹣1．
（2）令f'(x)=0，解得x=e﹣2
当0<x<e﹣2时，f’(x)<0；当x>e﹣2时，f'(x)>0．
故f(x)在区间(0，e﹣2)单调递减，在区间(e﹣2，+∞)单调递增．
因此f(x)在x=e﹣2时，取得极小值f(e﹣2)=﹣e﹣2.
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