第十三章圆锥曲线
§13.1曲线和方程、圆
考点1曲线和方程
- 定义
在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程/伝,、)=0的实数解建立了 如下关系：
- 曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
- 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
- 曲线的交点
- 曲线与坐标轴的交点
在方程/(x,^)=0中，令1=0,可求出曲线与丁轴的交点；在方程/(x，3z) = 0中， 令j=0,可求出曲线与z轴的交点.
- 两曲线的交点
[Fi(x,jz)=0
求两曲线的交点通常是由求方程组 的解而得出，方程组有几组实数解，曲线
I F2(z,j0=0
就有几个交点，没有实数解，曲线就不相交.
^2] W
- 圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆，定点为圆心，定长为半径.
- 圆的标准方程
设圆心在点(a,b),半径为r,则圆的标准方程为
(X—a)2 + (y—b)2=r2.
圆心在原点(0,0),半径为r时，圆的方程是T +/ =产.
- 圆的一般方程
x2+^2 + Dx+E^+F=0(D2 + E2-4F>0),经过配方此方程可配成
（丄 D \2 / E \2_D2+E2—4F
（"t） +3+苴）= 4 .
当D2 + E2 - 4F > 0时，方程表示的是圆心在点（—与，一号），半径是 e +? 一4目的圆；否则.此方程表示的不是圆.
- 点与圆的位置关系
点PCro,» ）与圆（了一。）2 + （了一6）2 =产的位置关系：点P到圆心的距离d = J（zo—a）2 + （y）—，当d= r时点P在圆上，当d<r时点P在圆内；当d>r时点P 在圆外.
- 直线与圆的位置关系
直线Az+By+C= 0与圆（z—a）2 + （y—厶）2 =产的位置关系：设圆心到直线的距离为 d=地工兰等C1，当d<r时直线和圆相交;当d=r时直线与圆相切；当d>r时，直线和 /A2+B2
圆相离.
- 圆的切线方程
过圆¥ +\2 =厂2上一点Po（zo，丸）的切线方程是xox+yQy = r2.
§13.2椭圆
考点3椭圖的概念
第一定义：平面内与两个定点F-F2的距离之和等于常数2aC2a>\F1F2\）的点的轨 迹叫做椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两定点间的距离叫焦距.
第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离的比等于一个常数-（OVeVI） 的动点的轨迹叫做椭圆，这个常数《叫椭圆的离心率，定点F叫椭圆的焦点，定直线叫椭 圆的准线.
(续表)
|
标准方程 |
专+芬=1篋>6>。) |
+ = l(a>b>0) |
|
顶 点 |
Ai ( — af0)、A2(a,0)、 Bl (O t — 6) nBz (0,6) |
A\ (0,—a)、A2(0,a)、 Bi (—们0)、—2(务,。) |
|
对称轴 |
.r轴、一y轴 长轴长2a,短轴长26 |
|
|
焦点 |
Fi (c,0)、F2(—c,0) |
Fl (0, —c)、F2(0,c) |
|
焦距 |
1 FiFz I =2c(c>0) c2 =a2 —62 |
|
|
离心率 |
e= —(0<e<l) a |
|
|
准 线 |
L土# |
广土A |
§ 13.3双曲线
考点5双曲线的概念
第一定义：平面内与两个定点Fi、F2的距离差的绝对值等于常数2a(2a<\F}F2\)的 点的轨迹叫做双曲线.两定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离|FiF2|=2c叫做双曲线的 焦距.
第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线/的距离的比是常数e(e>l)的动点的 轨迹叫做双曲线，常数e叫做双曲线的离心率，定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫双曲 线的准线.
考点6双曲线的标准方程和儿何性质
（续表）
|
标准方程 |
专-碧= l(a>0,b>0) |
若-芸=13＞。保。） |
|
顶 点 |
Ai (—a,0) yAz (a,0) |
Ai(O,—a)、A2(0,a) |
|
对称轴 |
了轴、了轴 实轴长2a,虚轴长Zb |
|
|
焦 点 |
Fi ( —c,0)、F2 (c,0) |
F】(0,—c)、F2(0,c) |
|
焦 距 |
|F1F2|=2c(c>0) c2 =a2 -\~b2 |
|
|
离心率 |
e = —(e>l) a |
|
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准 线 |
.a2 x= ±-^- |
1 a2 — |
|
渐近线 |
,b y— ± —x a |
丄a 尸士 |
§13.4抛物线
考点7抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线Z的距离相等的动点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线.
考点8抛物线的标准方程和性质
|
标准方程 |
y2 = 2px(p>0') |
= — 2 p工(p>Q) |
x2 =2py(.pZ>0') |
x2 = —2力丁(/>>0) |
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图形 |
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|
辜 |
|
|
顶点 |
0(0,0) |
|||
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对称轴 |
工轴 |
、轴 |
||
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焦点 |
F（方） |
F（*。） |
Fg) |
f@T) |
|
离心率 |
e= 1 |
|||
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准线 |
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•r=2~ |
|
y=~2- |
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