第十一章平面向量
考点1向址的概念
- 定义：既有大小又有方向的量称为向量.
- 表示方法：向量可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的 方向表示向量的方向，用有向线段庙表示向量，称为向量盖，另外还常用带箭头的小写 字母価责,…表示，在印刷时常用黑体小写字母a,b,c,…表示.
- 向量的模：向量a的大小叫向量的模(或长度)，记作|a丨.
- 向量相等：两个向量a和b同向且等长，则称a和b相等，记作a = b.
- 零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记为0,零向量的方向不定.
- 相反向量：与a大小相等，方向相反的向量，称为a的相反向量，记作一a,特别有 AB=-BA.
- 平行(或共线)向量：如果若干向量的有向线段所在直线互相平行或重合，则称这些 向量平行或共线.
- 单位向量:长度等于1的向量称为单位向量.与向量a同方向的单位向量叫a的单位向
考点2向Q:的加、减运算
- 向量的加法运算
(1)三角形法则
已知向量aM(如图11-1(1)),在平面上任取一点A^AB=atBC=b,则向量底叫做 向量a与8的和，记作a + b,即底=症+曲=a + b(如图11-1(2)).
- 平行四边形法则
已知a,b(如图11-1(1)),在平面上取一点A,作AB = a1AD=bi以疝，立为邻边作 DABCD,则其对角线AC=a + fe,即印5=盖+商B=a+b(如图11-1(3)).
多个向量相加，如图11-2,采用多边形法则:茄=泌+希+快+说.
（3）向量加法的运算律
向量的加法满足如下运算律：
a + b=b+a（交换律），
（a + b） + c=a+（b「c）（结合律）.
- 向量的减法运算
a —b=a+（ —》），一个向量减去一个向量等于加上这个向量的相反向量.一个向量 （弱）等于它的终点（A）的位置向量，减去它的起点（B）的位置向量.即以减向量的终点为 始点，以被减向量的终点为终点的向量叫这两个向量的差.
考点3数乗向址、两向所共线的条件
- 实数义与向量a的乘积是一个向量，记作M且|如丨=»| |a|,若时M）,当义＞0时,， 与a方向相同，当义V0时,/to与a方向相反，当A=0或a=O时,Oa=O或AO=O.
数乘向量满足下列运算法则（a、b为任意向量,*为任意实数）：
（1） A（/z a）=.＜切）a.
（2） （A+ju）a = Aa +/z a.
（3） A（a4-&）=Aa4-Ai».
- 两个非零向量af共线的充要条件是有且只有一个实数;（，使得a = ”.
考点4 平面向址的分解定理
如图11-3,均、如是两个不平行的向量，则症=5硏+3即，詩^=801 — 5。2,泣=—2跖 +6。2.
如果幻“2是同一平面上两个不共线的向量.那么对于该平面上的任一向量G,存在 唯一的一对实数Ui、a2,使得a = a1e1+a2e2,其中（跖，印｝叫平面上的全体向量的一组基 底，幻，如叫基向量.
考点5向量的直角坐标运算
- 向量的坐标表示
在平面直角坐标系zOy内（如图11-4）分别取与H、〉，轴方
向相同的两个单位向量跖/2,在]Qy平面上任一向量a,由平 面向量分解定理可知存在唯一的有序实数对（为，。2），使得
a—a\ e\ +。2。2，
（a】，a2）叫向量a在zO、中的坐标，记作a = （ai,a2）,其中们， 图11_4
e2叫做直角坐标平面上的基底，显然0=（0,0）,幻=（1,0）・。2 =（0,1）.
- 向量的坐标运算
（1）设 a=（ai ,—2），b= （bi 土2）,
则a + b=（ai ,@2） + （方I,皈）='（。1 +—1 ,如+。2），
a~b= （ai ,cz2）~'（E ,但）=（ai ~b\ ,<22 ~bz）,
Aa ,口2）=（义a】，人a2）.
(2)设 A(zi ,jyi ) ,J?(Z2,%)，则
- 基本公式
（1）向址的长度及两点间的距离公式
设 a= （ai,a?）,则 I a I = J+口2」.
设 A（xi ,yi） »B（X2 ,*/£），则
疽AB = \AB\ = J（了2 —Z1 ）2 + （% — ）2 .
（2）中点公式
设ACT] ,y ）.B（Z2况），线段AB的中点为MCr,y），则
_ x2+xi _北+少
] —.
者卷6向量的数册租
1.向量的夹角
设两非零向量a、b,作OA = a,OB = b,则匕AO8就叫做向量a与b的夹角，记作〈a, 万〉，且规定0 W〈a,b〉〈兀,当〈a・b〉=90°时，则称a与b垂直，记作a丄》；当〈a0〉=O°时,a与b同 向；当〈a,8〉= 180°时，。与b反向.
- 向量a、b的数量积
a • b= I a I •- • b\ cos<a,b>.
【注】a・b的几何意义：a・b等于|a|与b在a方向上的投影|b|cos〈a.b〉的乘积.
- 向量的数量积的性质
- 两个向量的数量积是实数，可以等于正数、负数或零.
- e 为单位向量，则 a • e=e • a= |a|cos〈a・e〉.
- aJ_b<=>a , b=0.
- a • a= |a 12 或 |a | = J a • a.
- cos<a,b) ~
\ a\ * \b\' - I a • b| W|a| , \b\.
- 数量积的坐标表示
在坐标平面xOy内，已知a=(ai ,a2)，力=(缶，。2)，
则 a • b= (ai ,々2). (6i ,饥)=aMi +a2$2.
性质：a丄+己2皈=0； a//b<^a\b2 —衣。1 =0 或 a//虹竺-=糾.
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