第六章导数
考点1导数的概念及其丿L何意义、多项式函数的导数
- 导数的定义
设函数y=f（Jc）的定义域为D,x06D,当自变量1在io处有增量福时（lo+ArC 。），函数有相应的增量徵= y（zo+Ar）-f（zo）,如果当Az-0时,尝的极限存在，则称 这个极限为函数/愆）在点xo处的导数，记作/（io）或丁|,=气，即 f5= lim^=临£@。+$）一£（z。）.
Ar->oZi^ Ar—0
如果函数，（z）在点Zo处的导数存在，则称函数/Xz）在点Z0处可导，否则称函数./•（］） 在点X0处不可导.
如果函数y=f（T）在区间（a,6）内每一点处都可导，则称函数y = /（］）在区间（aM） 内可导，此时，对于每一个 *a,b）,都有一个导数值/G）与之对应，所以/（z）也是z 的函数，称它为原来函数y=f（x）的导函数，记作
3/或广（1）.
在不致产生混淆的情况下，有时也把导函数简称为导数.
- 导数的几何意义
导数/（xo）表示曲线y=f（x）在点（邛，北）处的切线的斜率，即/（zo）= tana,其中a 为/Xi）在io处的切线的倾斜角，由此可知曲线, = /（z）在点M（zo,_yo）处的切线方程为 丁― W = r（zo）（z —Zo）・
- 多项式函数的导数
（1） （C）' = O（常数的导数等于0）.
（2） （xm），= m^-1（zn 为有理数）.
（3） （eD' = e，（以e为底的指数函数的导数）.
（4） （lar）z = —（以e为底的对数函数的导数）.
X
（5） 两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差），即（“士勿'= /士 x/.
（6） 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函
数乘以第二个函数的导数，即= +
（7） 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘以分母，减去分母的导数乘以分子，再除 以分母的平方，即（于）（奸0）.
（8）若 /（r） =aoxn +ai+・“+a”_iz+a”，其中 ao »aj ＞an 为常数，则 f （z） = 〃aoz"F + （〃一 l）ai]L2 + ・..+a“_].
考点.2极火値.极小備、最大值.最小偵的概念
- 极大值和极小值
设函数/（工）在区间内有定义,刷是区间伝,仔内的一个点，如果对于点血附近 的任意点J（x^xo），r（x）＜/（x0）均成立，则称/（血）是函数/（工）的一个极大值；如果对 于点Zo附近的任意点z（Z乂了0 ）,/■（]）＞y&o）均成立，则称f （工0）是函数/（Z）的一个极 小值.极大值与极小值统称为极值.使函数取得极大（小）值，（Z0）的点Z0叫做极大（小）值 点，统称为极值点.
- 最大值和最小值
设函数/&）（如图6-1）在（a,b）内只取得有限个极大值与极小值，把这有限个极值与 /Xi）在区间端点的值/（a）和/（厶）合在一起，其中最大的就是/Xz）在史，们上的最大值， 最小的就是/Xz）在[a,上的最小值.最大值与最小值统称为最值.
考点3用导数求多项式函数的单调区冋、极大值、极小值及闭区间上的最大債 和最小值
- 多项式函数y=f^）单调性的判别法
（1） 如果/&）在（a,b）内的导数/（^）＞0,则函数/（]）在（a,6）上是单调增加的.
（2） 如果y&）在（心。）内的导数/（"VO,则函数/（z）在（a/）上是单调减少的.
- 多项式函数y=r（z）的极值的判别法
函数 y=f（x'）的定义域为€ ["],设，&o）= O,
（1）如果当x＜x0时,/（^）＞0；当z＞zo时/（QVO,则函数八]）在zo处取得极
大值.
（2） 如果当iVz。时,/（GVO；当时，r（z）＞0,则函数f（Q在m处取得极 小值.
（3） 如果在q的两侧〃'&）具有相同的符号，期函数/（*）在zo处不取极值.
【注】（1）使/'（瓦）=0的点获叫做函数f（z）的驻点.
（2）求多项式函数U）的单调区间、极值的步骤：
- 求出函数的导数3, .
- 令y'=。求出函数的驻点.
- 以驻点为分界点将多项式函数的定义域（一8,+8,分成若干个部分区间.
①确定上述部分区间内J的符号，然后判别函数的单调性与极值.
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